塑料托盘塑料成型流动模拟数学模型的建立

北京塑料托盘兴鹏认为：我们要进行数值模拟，必须建立塑料熔体流动的主控方程，而实际塑料熔体 的流动是非牛顿粘弹性流体，非等温、非稳态的，这是无法直接用粘性流动力学 的基本方程，只能进行必要的合理简化后才能实现。

1）粘性流体力学基本方程

（1）连续性方程：由质量守恒定律可得，连续性方程表达式为:

业+ Q坐=0

dt dx.

式中Q是体积质量，X,是速度；§是全微分，在欧拉坐标系中可写为

dt

dt dt 8耳

（2）运动方程：根据动量守恒定律运动流体的运动方程表达式为:

呸+pF ”呸 (2-3)

g dt

式中命是Cauchy应力张量；*是单位质量流体所受的外力。

(3) 能量方程：由能量守恒定律可得，粘性流体的能量方程表达式为：

四空竺+6+23竺)+伽 (2-4) p dt %, dx, 5x/ ”

式中，g是单位质量流体的热流量；人是热导率；印是质量定容热容；①是粘性 热；p是压力；T是温度。

(4) 本构方程：根据广义牛顿摩擦定律，本构方程表达式为：

勾=衲j-(p-k京咒 (2-5)

式中，〃是流体的动力粘度，对于非牛顿流体〃为一常数；左是材质系数；勾是应 变速率张量，其分量可用下式表示：

勺旦(鱼+驾

⁷ 2 dXj dx_i

5) 状态方程：状态方程是用来表示压力p,温度T及体积质量Q之间的关

系。当流体是可压缩的，流体的运动就须考虑到热力学状态参数的影响。建立的 状态方程为：

P = P(P，T) (2-7)

塑料成型流动模拟实质上就是对以上7个粘性流体力学基本方程进行求解。

在一定的初值条件下，通过对式(2-1),式(2-3),式(2-4),式(2-7)求 解，就能够得到熔体的压力、温度及流动速率，对式(2-5)和式(2-6)求解就 能够得到剪切应变速率和剪切应力。虽然，理论上只要有合适的初始条件，我们 就能求解出以上7个方程组的一组封闭解，但工程实践中，数学上对所有这些方 程组进行求解一般相当的困难，即使采用数值计算方法也很难求解成功，所以就 要求我们对方程组进行相应的简化，才能够求出方程组解。工程实际中，我们就 是根据塑料熔体充模流动的特点，提出若干假设，将方程组简化，然后再进行求 解。2) 流动状态的假设与简化

1) 充模流动时，由于型腔中熔体温度不高，体积可视为不可压缩，即也=0 , 这时状态方程可简化为#=常数。

(2) 塑料熔体粘度大，粘性剪切力大，相比而言惯性力和质量力就很小，可

忽略不计，即式(2-3)中的p*•和可忽略不计。

(3) 在熔体流动方向上，热传导远小于热对流，所以可忽略热传导项，即式 (2-4)中的旦(人马+项_(人当可忽略不计。熔体不含热源，即疔0。

 dx dy dy

(4) 焰体的质量定容率勺和热导率;l与温度有关。在充模过程中，通常他们 可以视为常数，因为它的温度变化范围不大。

(5) 认为塑料熔体流动时是非弹性的，

(6) 塑料熔体的粘度模型采用克罗斯(Cross)模型：

（2-8）

式中广为材料常数；〃为牛顿指数；为零剪切粘度，爪=日时亦(式中8, L， 0均为材料常数)。

3) 初边值条件

求解上述偏微分方程组的积分常数是通过初始条件和边界条件来确定的，其 中初始条件是指注塑开始时区域内的参数，如温度、压力等；边界条件则是指边 界上各物理量的值，具体有如下三种：

(1) 速度边界条件：在塑料成型时，由于熔体的粘连性，与模腔内表面接触 的熔体速度等于模腔表面的速度，即边界速度为0；另外熔体沿型腔壁厚方向都是 对称流动，所以在中心轴处的速度梯度也是0。所以在速度边界上，给出速度和速 度梯队均为0。

^v> =v_osJi—-^L = 0,xer_v (2-9)

ox_i

(2) 温度边界条件：同理，在温度边界上，给出温度和温度梯度为0。

〈=编或性=0,"匚 (2-10)

ox_i

(3) 压力边界条件：在压力边界上，给出压力和压力梯度为0。

=0^—= 0,xeT (2-11)

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